1.2. Sociologie şi proprietăţi ale operaţiilor matematice

Motto: Pentru a avea un ogor, oricât de mare, îmi trebuie, mai întâi de toate, un bob.

Acest capitol continuă ideile celui precedent, privind spre proprietăţile operaţiilor matematice, considerate ca şi drumuri de evoluţie istorică a acestora, împletite cu evoluţia gândirii omului.

 

VIII.  Proprietăţile operaţiilor matematice

Înainte de a privi spre rostuirea paradigmatică a proprietăţilor operaţiilor matematice le enumerăm prin enunţ, mai jos, pentru reamintirea acestora de către cititor.

Proprietăţile operaţiei de adunare:

Comutativitatea: a+b = b+a

Asociativitatea: (a+b)+c = a+(b+c)

Elementul neutru: a+0 = a

Proprietăţile operaţiei de înmulţire :

Comutativitatea: a x b = b x a

Asociativitatea: a x (b x c) = a x (b x c)

Elementul neutru: a x 1 = a

Distributivitatea faţă de adunare şi scădere: a x (b+c) = ab + ac; a x (b-c) = ab – ac

Aceste proprietăţi par importante şi definitorii pentru ceea ce se petrece cu cifrele, dar şi cu acele cantităţi pe care acestea le reprezintă. Şi mai larg, cu întreaga gândire ce operează în matematică. Sunt atât de importante, încât toată teoria ce s-a dezvoltat în ultimele două secole de matematică se bazează pe jocul logicii acestor proprietăţi.

Dacă le privim cu atenţie şi încercăm să dăm la o parte vălul paradigmatic ce le înveleşte vedem că aceste proprietăţi sunt în fapt jocurile sociale ale relaţiilor statuate de oameni în jurul ideii de proprietate şi implicit ale celei de existenţă.

– Comutativitatea este egalitatea reflexivă şi războinică între două cantităţi (bogăţii) învecinate. Atât proprietarul lui a cât şi proprietarul lui b pot tinde cu aceeaşi posibilitate de a-şi dori şi realiza acumularea, fie a+b de către proprietarul cantităţii a, fie b+a de către proprietarul cantităţii b. Această caracteristică a unei cantităţi (bogăţii) de a putea fi dorită (râvnită) simetric, determină acumularea a+b, dar în echilibru cu acumularea b+a. Înţelesul comutativităţii este cel care păstrează (păzeşte), potenţial doar, atât pe a cât şi pe b.

În spatele comutativităţii stă ideea de simetrie. Nu doar un om este construit pe baza unei simetrii, ci şi doi oameni, sau mai mulţi oameni, sunt la fel, ansambluri construite pe baza unor simetrii, ceea ce face ca oricare dintre oameni să poată iniţia o operaţie de adunare în care primul termen să îl reprezinte. (Un om care fură, adună pe b la a. Un om care munceşte, adună pe a2 la a1.)  O simetrie oferă un echilibru şi putem spune că relaţia a+b = b+a este tocmai imaginea unui echilibru reciproc, dar şi relativ între două cantităţi matematice.

– Asociativitatea este o relaţie umană nuanţată şi statuată social, probabil după asimilarea istorică a relaţiei de comutativitate. Cantităţile a, b şi c intră acum într-o relaţie de dezechilibru, contând care dintre sume se constituie privilegiat, a cu b; a cu c sau b cu c faţă de cealaltă cantitate, separată astfel. Minoritatea unei cantităţi nu este un indiciu de pace, cum nici asocierea a două cantităţi în deficitul previzibil al celei de a treia nu este un semn de echilibru.

Faptul că (a+b)+c=a+(b+c) rezonează cu posibilitatea unei cantităţi mărite prin unirea a două cantităţi, din trei existente. Această relaţie dă o imagine fidelă a realităţii, în care oricând şi orice variantă de asociere se poate crea. Laturile unui triunghi nu se abat niciodată de la demonstrarea pericolului aplicării simetriei asociativităţii. Totdeauna suma lungimilor a două laturi va depăşi lungimea celei de a treia, rămasă pe marginea acestei asocieri.

– Înţelesul elementului neutru este lucrul cel mai frumos al matematicii, atât al adunării cât şi al înmulţirii. Pentru că a+0 = a şi ax1 = a sunt imaginile ideale ale oricărei realităţi. Cantitatea rămâne astfel neschimbată, prin lipsa unei adunări: a+0 = a. Cantitatea este păstrată, mereu egală cu ea însăşi: ax1 = a.

Adunarea se neagă pe ea însăşi când este supusă simultan egalităţilor a+0 = ax1 = a. Imaginile paradigmatice ale celor două acţiuni ale elementului neutru asupra lui a sunt două paradoxuri. Nu adunăm, dar adunăm şi nu înmulţim, dar înmulţim. Sensurile acestor afirmaţii sunt mai evidente dacă alăturăm acestora relaţia socială a unei imagini publice asupra lui a ca şi cantitate supusă acumulării. Orice cantitate supusă adunării va păstra aparenţa acestei proprietăţi de a-i fi posibilă o schimbare. Permanent adunarea are loc asupra lui a doar printr-o latenţă de forma a+0 = a şi permanent operaţia de  înmulţire are loc asupra lui a printr-o lantenţă: ax1 = a. Atunci de ce a trebuit introdusă în matematică această prefăcătorie? Spunem prin aceasta că elementul neutru dă capacitatea numerelor de a nu dispărea. Ce ar fi dacă cantităţile a şi b ar fi incapabile de a se păstra ele însele? În acest caz nu ar fi posibilă nici o operaţie între a şi b adică a+b, a-b, axb şi a:b. Identitatea lui a acoperită de o altă identitate a lui b face posibilă operaţia de adunare a+b. În fapt, orice cantitate îşi verifică neîncetat persistenţa prin efectuarea  nesfârşită şi virtuală a acestor testări: a+0 şi ax1. În lumea cantităţilor supuse matematicii nu suntem siguri că există această validare permanentă sau că există, dar într-o formă necunoscută, în schimb, există în aparatul minţii umane, omul împrumutând această nevoie a sa şi operaţiilor matematice.

Aplicarea celor trei proprietăţi este liniştitoare pentru toţi oamenii şi dă o siguranţă lumii, siguranţă construită prin constrângerea unor simetrii. Dacă adunării îi luăm siguranţa comutativităţii şi spunem că numai a+b = a+b, adică niciodată b nu va avea iniţiativa liberă a unei adunări, ar însemna să nu acceptăm că cel sărac, adică b,  ar putea să solicite o adunare valabilă care să adune lângă sine pe a prin operaţia b+a. Chiar dacă între timp s-a demonstrat o inconsecvenţă a acestei simetrii, ea rămâne o idee socială frumoasă, umplând un ideal şi fiind în concordanţă şi cu teoria matematică.

 

IX. Cum ar fi o schimbare a matematicii?

Mai întâi: cum ar fi să modificăm jocul de şah? Să modificăm numai una dintre regulile sale, foarte puţin. Imitând în mod ironic realitatea, regina are puteri depline, iar regele este împiedicat aproape complet, având dreptul să facă doar câte un pas sub protecţia tuturor curtenilor. Regele, vârful valorilor societăţii, este în jocul de şah un morman de handicapuri. Să îi dăm doar un drept în plus regelui şi toată teoria adunată de mii de ani în minţile şahiştilor se modifică cu totul. Să spunem că regele ar avea dreptul de a face doi paşi pe diagonala cu aceeaşi culoare – imitând ideea tunelului de sub palat – pentru a se apăra!

Aşa să fie oare şi în matematică? Se pune întrebarea: în realitatea pe care o imită, dar şi o modelează şahul, toţi regii sunt aşa de neajutoraţi? Cum se pune şi întrebarea: în realitate operaţia de adunare este chiar aşa de totalitară şi ea dictează întregul mers al tuturor proceselor din natură şi societate? Greu de crezut.

Pentru a face o schimbare a matematicii este necesar să se schimbe modul ei de aşezare în mintea umană.

 

X. Semnificaţia, alături de paradigma matematică

Preluând prin adunare din cantităţile  b, c, d … n spre cantitatea nominală a, singura schimbare posibilă a lui a prin adunarea a+b+c+….+n devenită a1 este aceea a semnificaţiei. Cantităţile adunate b,c,…n vor rămâne în natură mereu ele însele, în afara acestei semnificaţii pe care o invocă operaţia de adunare. O cantitate mărită pe baza micşorării alteia nu se integrează în ideea de adunare, dacă noua sumă nu îşi însuşeşte noua semnificaţie.

Adunarea are valabilitate ca şi operaţie matematică numai într-un sistem care alătură permanent noi semnificaţii printr-o logică cum este logica umană. Matematica are permanent nevoia ideii unei semnificaţii alăturate, atât în parcursul operaţiilor, cât şi prin rezultatul acestora. Această semnificaţie matematică nu ţine de o imagine practică, cea pe care o primesc operaţiile când deţin componente ale unei modelări, ci este o semnificaţie internă logicii. Vorbim de o semnificaţie pe care operaţiile, şi înainte de operaţii funcţiile matematice, o au unele de la altele, toate având-o de la operaţia de adunare, prin depuneri succesive ale unei paradigme constituind elementar logica. Trebuie ca în mintea fiecărui om să se desfăşoare o imagine atunci când acesta foloseşte, afirmă, constată, îşi însuşeşte etc. propoziţia adunării a+b=c sau 3+4=7. Este o formă de imagine simplă, fiind imaginea operaţiei elementare de adunare, probabil imaginea pe care şi-o pot alătura semnificativ cei mai mulţi dintre oameni. Dacă propoziţia devine mai complicată, imaginea se dezvoltă, însă tot pe baza imaginii adunării.

Prin scădere omul adună o pierdere cantităţii sale. Imaginea sa mentală este una deformată prin noi constituente care semnifică acest fapt. Adunarea dă în acest caz completul unui bilanţ în care adaosul şi reducerea sunt aceleaşi lucruri, prin efectul lor asupra unei cantităţi pe care doar o schimbă. Semnificaţiile nu pot lipsi din logica operaţiilor. Acest lucru ne duce la întrebarea despre modul de aşezare al acestor operaţii în mintea umană.

 

XI. Aşezarea operaţiilor în mintea umană

Să transcriem ceea ce am dedus despre imagini, mai sus, în limbajul matematic posibil. Pentru a face acest lucru, folosim o comparaţie privind abordarea operaţiilor matematice de către gândire. Agricultura a adus probabil primele aplicaţii ale adunării prin culesul şi păstrarea unor roade. Strângerea boabelor de pe câmp sau a fructelor din pomi s-a făcut prin adunare. De cele mai multe ori recolta se reduce la o „adunare”, termen folosit şi astăzi pentru culesul fructelor sau al legumelor.

În cazul cerealelor, boabele (de mei, grâu, soia, porumb…) sunt cantitatea elementară a acestei adunări. Să notăm cu b acea boabă care are capacitatea ca ea singură şi independent să germineze şi să devină un nou spic. Adunarea boabelor nu era de la început semnificativă pentru om, pentru că nu exista o măsură învăţată pentru a spune mai mult decât că boabele sunt îndestulătoare, foarte îndestulătoare sau lipsesc. Apoi, prin capacităţi noi de abstractizare, a urmat aprecierea exprimată prin: prea puţine, puţine, multe, foarte multe. Acestea au fost primele evaluări ale adunării boabelor. Probabil că următoarea etapă a fost invenţia primei măsuri, căuşul palmei sau al ambelor mâini, sau pumnii de boabe, cum a rămas în vorbirea curentă.

Aceste măsurări calitative se păstrează în limbaj. Ulterior a fost necesară găsirea unei cuantificări pentru mărimea sau valoarea cantităţii de boabe. Prima formă a acestei cuantificări s-a desfăşurat inversat a ceea ce este astăzi, prin împărţirea egală şi publică între membrii grupului, folosind măsura consacrată (căuşul) până la epuizarea cantităţii comune, pe principiul o măsură mie – o măsură ţie.

Însă producţia de boabe a crescut continuu şi paralel şi grupul social alăturat: din familie a devenit ceată, apoi trib, gintă şi în final stat.

Boabele au rămas ele însele ca şi cantităţi elementare, dar grupurile de boabe au început a fi definite după diverse criterii, ce au urmat dezvoltării societăţii: în grămezi sau hambare prin folosirea baniţei, în saci, în loturi de saci sau în magazii, respectiv în depozite şi în final, rezerve ale statului.

Dacă un pumn de boabe conţinea un număr n de boabe, aproximativ şi dependent de mărimea palmelor, cantitatea fiind n x b acest număr devenea tot mai precis prin folosirea unor volume sistematice (baniţe, măsuri, duble, litre, saci etc.), iar apoi a unor mase de referinţă, greutăţile.

Mintea umană s-a dezvoltat prin accesarea gradată a acestor forme de măsurare şi a simbolisticii necesare comunicării acestor cantităţi precum şi a traseului tranzacţiilor acestor cantităţi, de la semănat până la stocare, comercializare, consum sau resemănat. Creşterea preciziei de măsurare nu denotă o evoluţie a societăţii, în sensul pozitiv, ci o ascuţire a agresivităţii relaţiilor sociale.

Adunarea era necesară pentru a afla câte grămezi sau câte hambare sunt într-o magazie, câte măsuri sunt necesare pentru o destinaţie sau alta.

Câte măsuri, respectiv câte boabe, sunt într-o magazie sau în depozitul format din mai multe magazii?

C (întreaga cantitate de boabe) =  M1 (cantitatea de boabe din prima magazie) + M2 (cantitatea de boabe din a doua magazie) +…

= (H1/1 (hambarul 1 din prima magazie) + H2/1 +….)   +  (H1/2( hambarul 1 din a doua magazie) + H2/2 +….) +…

=  (m1/1/1 (prima măsură din hambarul 1 din prima magazie) + m2/1/1 +……. ) + (m1/2/1 (prima  măsură din hambarul 2 din prima magazie) + m2/2/1 +……. ) + …

+ (m1/1/2 ( prima măsură din hambarul 1 din a doua  magazie) + m2/1/2 +……. ) + (m1/2/2 (prima  măsură din hambarul 2 din a doua magazie) + m2/2/2 +……. ) + …..

Desfăşurând aceste adunări, obţinem un lung şir al tuturor măsurilor adunate şi existente în întreaga cantitate, adică: m1+ m2+ m3+ …  + mn.

Dacă fiecărei măsuri îi cunoaştem numărul de boabe nb, vom afla în final o sumă uriaşă, Nb, a numărului total de boabe,  Nb= nb1+nb2+ nb3 +…+ nbn, care există în depozit.

Doar gândirea globală asupra acestei enorme operaţii de adunare este cea care ne persistă în minte şi care stă la baza înţelegerii şi acceptării ulterioare a celorlalte operaţii. (Putem şi să reducem la câteva înmulţiri întregul raţionament al adunărilor de mai sus, dar acest lucru nu este în acord cu realitatea, pentru că modul acesta este rezultatul unei foarte lungi istorii.) Ştim că acea cantitate de boabe are o anume invarianţă constituită din acel bob care în final poate fi luat şi pus în pământ pentru a germina. Acest bob nu este cu nimic influenţat de întregul nostru calcul, fapt esenţial pentru înţelegerea întregii matematici.

Singura afirmaţie adevărată, care ne permite să realizăm aceste calcule, este faptul că la un moment dat boabele au fost cuprinse, simbolic, doar arareori faptic, într-un volum comun: măsură, hambar, magazie, depozit, căreia i s-a putut da o ,,semnificaţie”.

Subiectul operaţiilor matematice, cel ce permite drumul minţii spre o semnificaţie, nu are o legătură directă cu niciuna dintre operaţiile asociate. Legătura pe care o realizează paradigma asupra minţii între operaţie şi subiectul operaţiei matematice constă doar într-o semnificaţie posibilă.

Va urma.

© Cornel Mărginean

Cornel Mărginean

Cornel Mărginean

Cornel Mărginean s-a născut la Iernut, județul Mureș, în anul 1957.
Este preocupat de filozofia științei și de literatură încă din anii studiilor universitare tehnice de la București.
După absolvirea Facultății de Energetică, din anul 1983, a lucrat în domeniul producerii de energie electrică de mare putere, parcurgând toate treptele profesionale, până la cea de director tehnic al unei termocentrale.
În mod constant, din 2002, postează eseuri, proză și poezie pe site-ul www.poezie.ro.
Din anul 2008 publică articole de epistemologie în revista Noema a Academiei Române.
A debutat cu volumul „Eseuri despre înțeles” - Editura Casa Cărții de Știință - Cluj Napoca, 2010, care cuprinde trei cărți: “Lumile din Om”, “Litere” și “Călător prin caiete”.
Este membru al Societății Române de Science Fiction și Fantasy, din anul 2009.
Cornel Mărginean

Latest posts by Cornel Mărginean (see all)